\chapter{闭黎曼流形的高斯-博内公式的一个简单内蕴证明}
\author{陈省身\\普林斯顿高等研究院}
\date{1945年}
	
	\section{引言}
	论文开篇指出传统证明依赖外围空间嵌入的局限性，提出全新内蕴方法：
	
	\begin{quote}
		"以往对高斯-博内公式的证明需将流形嵌入欧氏空间......本文给出完全不依赖于嵌入的证明，揭示曲率与拓扑的内在联系。"
	\end{quote}
	
	\section{预备知识}
	定义核心概念：
	\begin{itemize}
		\item 单位切丛 $UT(M)$ 的纤维结构
		\item 黎曼联络形式 $\omega_{ij}$ 及其曲率形式 $\Omega_{ij}$
		\item 普法夫多项式 $\text{Pf}(\Omega)$ 的显式表达式
	\end{itemize}
	
	\section{主要证明}
	分三步构建内蕴证明：
	
	\subsection{典范微分形式的构造}
	定义 $UT(M)$ 上的 $(2n-1)$-形式：
	\[
	\Pi = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} \theta_k \wedge \bigwedge_{j\neq k} \Omega_{ij}
	\]
	其中 $\theta_k$ 为标架丛上的基本1-形式。
	
	\subsection{曲率形式的拓扑不变量}
	证明微分关系：
	\[
	d\Pi = (2n-1)\text{Pf}(\Omega)
	\]
	
	\subsection{积分运算}
	通过单位切丛的纤维积分：
	\[
	\int_M \text{Pf}(\Omega) = \frac{(2\pi)^n}{(n-1)!} \chi(M)
	\]
	
	\chapter{Hermitian流形的示性类}
	\author{陈省身\\普林斯顿高等研究院}
	\date{1945年}
			
		\section{复向量丛的微分几何}
		定义Hermitian联络 $D$ 的曲率张量：
		\[
		\Theta(X,Y)s = D_X D_Y s - D_Y D_X s - D_{[X,Y]}s
		\]
		
		\section{陈类的构造}
		通过特征多项式定义微分形式：
		\[
		\det\left(I + \frac{i}{2\pi}\Theta\right) = 1 + c_1(\Theta) + \cdots + c_n(\Theta)
		\]
		其中 $c_k(\Theta)$ 为 $2k$-次微分形式。
		
		\section{拓扑不变性证明}
		关键步骤：
		\begin{enumerate}
			\item 验证联络变换下的不变性：
			\[
			\tilde\Theta = g^{-1}\Theta g \Rightarrow c_k(\tilde\Theta) = c_k(\Theta)
			\]
			\item 建立德拉姆上同调类的唯一性
		\end{enumerate}
		
		\section{应用实例}
		计算复射影空间 $\mathbb{CP}^n$ 的陈类：
		\[
		c(T\mathbb{CP}^n) = (1 + \omega)^{n+1}
		\]
		其中 $\omega$ 为凯勒形式。
	